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【AcWing算法基础】第一讲-基础算法-离散化 AcWing 802. 区间和

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摘要：
离散化模板题。

题目

假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 $0$。
现在，我们首先进行 $n$ 次操作，每次操作将某一位置 $x$ 上的数加 $c$。
接下来，进行 $m$ 次询问，每个询问包含两个整数 $l$ 和 $r$，你需要求出在区间 $[l, r]$ 之间的所有数的和。

输入格式
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $x$ 和 $c$。
再接下里 $m$ 行，每行包含两个整数 $l$ 和 $r$。

输出格式
共 $m$ 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围

  • $−10^9≤x≤10^9$,
  • $1≤n,m≤10^5$,
  • $−10^9≤l≤r≤10^9$,
  • $−10000≤c≤10000$

输入样例：

3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8

输出样例：

8
0
5

离散化

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;                                           // 1
int a[N], s[N];                                                 // 11
vector<int> alls;                                               // 2
vector<PII> add, query;


int find(int x) 
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    for (; l < r;) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l + 1;                                               // 3
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (; n -- ;) {                                            // 4
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        alls.push_back(x);
        add.push_back({x, c});
    }
    for (; m -- ;) {                                            // 5
        int l, r;   
        cin >> l >> r;
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
        query.push_back({l, r});
    }
    sort(alls.begin(), alls.end());                             // 6
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 7
    
    for (auto item : add) {                                     // 8
        a[find(item.first)] += item.second;
    }
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++ ) {                  // 9
        s[i] = s[i - 1] + a[i];    
    }
    for (auto item : query) {                                   // 10
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}
    1. add 下标最多 1e5 个，query 下标最多 2e5 个。当最极端的情况出现时，下标总数可达到 3e5。
    1. 待离散化数组，存放 add 下标和 query 下标。
    1. 为了方便求前缀和，将 add 每一位映射到 a 数组向右偏移一位的位置（从 1 开始）。
    1. add 数据输入。
    1. query 数据输入。
    1. 排序为了方便二分查找映射下标。
    1. 去重为了让所有待离散化数据一一映射自己的下标。
    1. 处理映射数组，所有 add 下标对应统统加上相应的数；所有 query 下标对应默认为 0。
    1. 求前缀和数组。我们知道求前缀和数组需要从 1 开始取，但是这里为什么 可以 从 1 开始遍历呢？因为 alls 数组是从 0 开始记录的，find 方法将坐标映射到下标时已经向右偏移了一位，所以 a 数组值 $> 0$ 的位置一定是 $> 0$ 的。另外注意到这里为什么要用 alls.size() 呢，那是因为离散化操作将所有的 alls 数组中的值全部映射到了 a 数组中，且前缀和数组长度一定和 alls 一样长。
    1. 输出查询
    1. 当数组范围大的时候一定要在 main() 函数外面开数组，因为在这里开数组其内存会被分配在数据区（堆），而在 main() 内开数组其内存你会被分配在代码区，数据量大的话会出错。

注意，由于vector数组自身的属性，此时是从 $0$ 开始记录的。由于我们要构建前缀和数组，在处理 a 数组时要从 $1$ 开始构建，所以在通过 find 方法找坐标下标时，要整体向右偏移一位。

现在我们尝试描述一下a数组：
a 数组存放着 alls 数组排序去重之后的所有值的下标，注意这里的下标是 alls 数组的。因为 alls 数组中存放着坐标轴上 add 操作和 query 操作涉及到的坐标，所以 a 数组中部分值为非零部分为零。非零的部分是 add 操作增加的数，零的部分包含 query 操作对应的没什么意义的 0 和剩下的一些留空数组元素 0.

本质上，alls 数组可以看成是一组映射关系。将可能取到极大或极小但数量有限的坐标和数组下标对应起来。其中，alls 数组的下标对应映射的结果，alls 数组的值对应原坐标轴的坐标。此后我们将 alls 数组的下标单独拿出来对应 a 数组，alls 数组的值单独拿出来放在 a 数组对应的下标处。这样就完成了离散化。

原题链接： AcWing 802. 区间和